## 题目地址(343. 整数拆分)

https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

## 题目描述

给定一个正整数  n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例  2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设  n  不小于 2 且不大于 58。

## 前置知识

- 递归
- 动态规划

## 公司

- 阿里
- 腾讯
- 百度
- 字节

## 思路

希望通过这篇题解让大家知道“题解区的水有多深”，让大家知道“什么才是好的题解”。

我看了很多人的题解直接就是两句话，然后跟上代码:

```python
class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * (n + 1)
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
        return dp[n]
```

这种题解说实话，只针对那些”自己会， 然后去题解区看看有没有新的更好的解法的人“。但是大多数看题解的人是那种`自己没思路，不会做的人`。那么这种题解就没什么用了。

我认为`好的题解应该是新手友好的，并且能够将解题人思路完整展现的题解`。比如看到这个题目，我首先想到了什么（对错没有关系），然后头脑中经过怎么样的筛选将算法筛选到具体某一个或某几个。我的最终算法是如何想到的，有没有一些先行知识。

当然我也承认自己有很多题解也是直接给的答案，这对很多人来说用处不大，甚至有可能有反作用，给他们一种”我已经会了“的假象。实际上他们根本不懂解题人本身原本的想法， 也许是写题解的人觉得”这很自然“，也可能”只是为了秀技“。

Ok，下面来讲下`我是如何解这道题的`。

### 抽象

首先看到这道题，自然而然地先对问题进行抽象，这种抽象能力是必须的。LeetCode 实际上有很多这种穿着华丽外表的题，当你把这个衣服扒开的时候，会发现都是差不多的，甚至两个是一样的，这样的例子实际上有很多。 就本题来说，就有一个剑指 Offer 的原题[《剪绳子》](https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/)和其本质一样，只是换了描述方式。类似的有力扣 137 和 645 等等，大家可以自己去归纳总结。

> 137 和 645 我贴个之前写的题解 https://leetcode-cn.com/problems/single-number/solution/zhi-chu-xian-yi-ci-de-shu-xi-lie-wei-yun-suan-by-3/

**培养自己抽象问题的能力，不管是在算法上还是工程上。** 务必记住这句话！

数学是一门非常抽象的学科，同时也很方便我们抽象问题。为了显得我的题解比较高级，引入一些你们看不懂的数学符号也是很有必要的（开玩笑，没有什么高级数学符号啦）。

> 实际上这道题可以用纯数学角度来解，但是我相信大多数人并不想看。即使你看了，大多人的感受也是“好 nb，然而并没有什么用”。

这道题抽象一下就是：

令：
![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghludn2s3wj305o03cgle.jpg)
（图 1）
求：
![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghludny0u2j305o036wea.jpg)
（图 2）

## 第一直觉

经过上面的抽象，我的第一直觉这可能是一个数学题，我回想了下数学知识，然后用数学法 AC 了。 数学就是这么简单平凡且枯燥。

然而如果没有数学的加持的情况下，我继续思考怎么做。我想是否可以枚举所有的情况（如图 1），然后对其求最大值（如图 2）。

问题转化为如何枚举所有的情况。经过了几秒钟的思考，我发现这是一个很明显的递归问题。 具体思考过程如下：

- 我们将原问题抽象为 f(n)
- 那么 f(n) 等价于 max(1 \* fn(n - 1), 2 \* f(n - 2), ..., (n - 1) \* f(1), i \* (n - i))。

> i \* (n - i) 容易忽略。 而 i \* (n - i) 表示的其实是恰好分成两段。这是因为我们的 f 定义是至少分成两段（题目限制的）

用数学公式表示就是：

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghludoulynj30co03ydfo.jpg)
（图 3）

截止目前，是一点点数学 + 一点点递归，我们继续往下看。现在问题是不是就很简单啦？直接翻译图三为代码即可，我们来看下这个时候的代码：

```python
class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n == 2: return 1
        res = 0
        for i in range(1, n):
            res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
        return res
```

毫无疑问，超时了。原因很简单，就是算法中包含了太多的重复计算。如果经常看我的题解的话，这句话应该不陌生。我随便截一个我之前讲过这个知识点的图。

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghludph6m5j313p0u00we.jpg)
(图 4)

> 原文链接：https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/thinkings/dynamic-programming.md

大家可以尝试自己画图理解一下。

> 看到这里，有没有种殊途同归的感觉呢？

## 考虑优化

如上，我们可以考虑使用记忆化递归的方式来解决。只是用一个 hashtable 存储计算过的值即可。

```python
class Solution:
    @lru_cache()
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n == 2: return 1
        res = 0
        for i in range(1, n):
            res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
        return res
```

为了简单起见（偷懒起见），我直接用了 lru_cache 注解， 上面的代码是可以 AC 的。

## 动态规划

看到这里的同学应该发现了，这个套路是不是很熟悉？下一步就是将其改造成动态规划了。

如图 4，我们的思考方式是从顶向下，这符合人们思考问题的方式。将其改造成如下图的自底向上方式就是动态规划。

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghludra48hj31eq0r0gp1.jpg)
(图 5)

现在再来看下文章开头的代码：

```python
class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * (n + 1)
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
        return dp[n]
```

dp table 存储的是图 3 中 f(n)的值。一个自然的想法是令 dp[i] 等价于 f(i)。而由于上面分析了原问题等价于 f(n)，那么很自然的原问题也等价于 dp[n]。

而 dp[i]等价于 f(i)，那么上面针对 f(i) 写的递归公式对 dp[i] 也是适用的，我们拿来试试。

```
// 关键语句
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
```

翻译过来就是：

```
dp[i] = max(dp[i], max(i * dp(n - i),i * (n - i)))
```

而这里的 n 是什么呢？我们说了`dp是自底向下的思考方式`，那么在达到 n 之前是看不到整体的`n` 的。因此这里的 n 实际上是 1,2,3,4... n。

自然地，我们用一层循环来生成上面一系列的 n 值。接着我们还要生成一系列的 i 值，注意到 n - i 是要大于 0 的，因此 i 只需要循环到 n - 1 即可。

思考到这里，我相信上面的代码真的是`不难得出`了。

## 关键点

- 数学抽象
- 递归分析
- 记忆化递归
- 动态规划

## 代码

```python
class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * (n + 1)
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(1, i):
                dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
        return dp[n]
```

## 总结

培养自己的解题思维很重要， 不要直接看别人的答案。而是要将别人的东西变成自己的， 而要做到这一点，你就要知道“他们是怎么想到的”，“想到这点是不是有什么前置知识”，“类似题目有哪些”。

最优解通常不是一下子就想到了，这需要你在不那么优的解上摔了很多次跟头之后才能记住的。因此在你没有掌握之前，不要直接去看最优解。 在你掌握了之后，我不仅鼓励你去写最优解，还鼓励去一题多解，从多个解决思考问题。 到了那个时候， 萌新也会惊讶地呼喊“哇塞， 这题还可以这么解啊？”。 你也会低调地发出“害，解题就是这么简单平凡且枯燥。”的声音。

## 扩展

正如我开头所说，这种套路实在是太常见了。希望大家能够识别这种问题的本质，彻底掌握这种套路。另外我对这个套路也在我的新书《LeetCode 题解》中做了介绍，本书目前刚完成草稿的编写，如果你想要第一时间获取到我们的题解新书，那么请发送邮件到 `azl397985856@gmail.com`，标题著明“书籍《LeetCode 题解》预定”字样。。
