## 题目地址（50. Pow(x, n)）

https://leetcode-cn.com/problems/powx-n/description/

## 题目描述

```
实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。

示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000
示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100
示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
说明:

-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。

```

## 前置知识

- 递归
- 位运算

## 公司

- 阿里
- 腾讯
- 百度
- 字节

## 解法零 - 遍历法

### 思路

这道题是让我们实现数学函数`幂`，因此直接调用系统内置函数是不被允许的。

符合直觉的做法是`将x乘以n次`，这种做法的时间复杂度是$O(N)$。

经实际测试，这种做法果然超时了。测试用例通过 291/304，在 `0.00001\n2147483647`这个测试用例挂掉了。如果是面试，这个解法可以作为一种兜底解法。

### 代码

语言支持: Python3

Python3 Code:

```python
class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n == 0:
            return 1
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        res = 1
        for _ in range(n):
            res *= x
        return res
```

## 解法一 - 普通递归（超时法）

### 思路

首先我们要知道：

- 如果想要求 x ^ 4，那么我们可以这样求： (x^2)^2
- 如果是奇数，会有一点不同。 比如 x ^ 5 就等价于 x \* (x^2)^2。

> 当然 x ^ 5 可以等价于 (x ^ 2) ^ 2.5, 但是这不相当于直接调用了幂函数了么。对于整数，我们可以很方便的模拟，但是小数就不方便了。

我们的思路就是：

- 将 n 地板除 2，我们不妨设结果为 a
- 那么 myPow(x, n) 就等价于 `myPow(x, a) * myPow(x, n - a)`

很可惜这种算法也会超时，原因在于重复计算会比较多，你可以试一下缓存一下计算看能不能通过。

> 如果你搞不清楚有哪些重复计算，建议画图理解一下。

### 代码

语言支持: Python3

Python3 Code:

```python
class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n == 0:
            return 1
        if n == 1:
            return x
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        return self.myPow(x, n // 2) * self.myPow(x, n - n // 2)
```

## 解法二 - 优化递归

### 思路

上面的解法每次直接 myPow 都会调用两次自己。

我们不从缓存计算角度，而是从减少这种调用的角度来优化。

考虑 myPow 只调用一次自身可以么？ 没错，是可以的。

具体来说就是：

- 如果 n 是偶数，我们将 n 折半，底数变为 x^2
- 如果 n 是奇数， 我们将 n 减去 1 ，底数不变，得到的结果再乘上底数 x

这样终于可以 AC。

### 代码

语言支持: Python3, CPP

Python3 Code:

```python
class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n == 0:
            return 1
        if n == 1:
            return x
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        return self.myPow(x * x, n // 2) if n % 2 == 0 else x * self.myPow(x, n - 1)
```

CPP Code:

```cpp
class Solution {
    double myPow(double x, long n) {
        if (n < 0) return 1 / myPow(x, -n);
        if (n == 0) return 1;
        if (n == 1) return x;
        if (n == 2) return x * x;
        return myPow(myPow(x, n / 2), 2) * (n % 2 ? x : 1);
    }
public:
    double myPow(double x, int n) {
        return myPow(x, (long)n);
    }
};
```

**复杂度分析**

- 时间复杂度：$O(logN)$
- 空间复杂度：$O(logN)$

## 解法三 - 位运算

### 思路

我们来从位（bit）的角度来看一下这道题。如果你经常看我的题解和文章的话，可能知道我之前写过几次相关的“从位的角度思考分治法”，比如 LeetCode [458.可怜的小猪](https://leetcode-cn.com/problems/poor-pigs/description/)。

以 x 的 10 次方举例。10 的 2 进制是 1010，然后用 2 进制转 10 进制的方法把它展成 2 的幂次的和。

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghltwqu7tfj30t802mq2z.jpg)

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghltwspa8lj30xp0u0dj7.jpg)

因此我们的算法就是：

- 不断的求解 x 的 2^0 次方，x 的 2^1 次方，x 的 2^2 次方等等。
- 将 n 转化为二进制表示
- 将 n 的二进制表示中`1的位置`pick 出来。比如 n 的第 i 位为 1，那么就将 x^i pick 出来。
- 将 pick 出来的结果相乘

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghltwt3awfj30vq0hcabp.jpg)

这里有两个问题：

第一个问题是`似乎我们需要存储 x^i 以便后续相乘的时候用到`。实际上，我们并不需要这么做。我们可以采取一次遍历的方式来完成，具体看代码。

第二个问题是，如果我们从低位到高位计算的时候，我们如何判断最高位置是否为 1？我们需要一个 bitmask 来完成，这种算法我们甚至需要借助一个额外的变量。 然而我们可以 hack 一下，直接从高位到低位进行计算，这个时候我们只需要判断最后一位是否为 1 就可以了，这个就简单了，我们直接和 1 进行一次`与运算`即可。

如果上面这段话你觉得比较绕，也可以不用看了，直接看代码或许更快理解。

### 代码

语言支持: Python3

Python3 Code:

```python
class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        res = 1
        while n:
            if n & 1 == 1:
                res *= x
            x *= x
            n >>= 1
        return res
```

**复杂度分析**

- 时间复杂度：$O(logN)$
- 空间复杂度：$O(1)$

## 关键点解析

- 超时分析
- hashtable
- 数学分析
- 位运算
- 二进制转十进制

## 相关题目

- [458.可怜的小猪](https://leetcode-cn.com/problems/poor-pigs/description/)

![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghltwu19yqj30wn0u0abv.jpg)

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![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1gfcuzagjalj30p00dwabs.jpg)
