## 题目地址(322. 零钱兑换)

https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/

## 题目描述

```
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

 

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1
示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2
 

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

```

## 前置知识

- 贪心算法
- [动态规划](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/thinkings/dynamic-programming.md)

## 公司

- 腾讯
- 百度
- 字节
- 阿里巴巴（盒马生鲜）

## 岗位信息

- 阿里巴巴（盒马生鲜）：前端技术二面

## 思路

## 思路

假如我们把 coin 逆序排列，然后逐个取，取到刚好不大于 amout，依次类推。

```
eg: 对于 [1,2,5] 组成 11 块

- 排序[5,2,1]

- 取第一个5, 更新amout 为 11 - 5 = 6 (1⃣️)
      6 > 5 继续更新 为 6 - 5 = 1 (2⃣️)
      1 < 5 退出

- 取第二个2
      1 < 2 退出

- 取最后一个元素，也就是1

      1 === 1 更新为 1 - 1 = 0 (3⃣️)

- amout 为 0 退出


因此结果是 3
```

熟悉贪心算法的同学应该已经注意到了，这就是贪心算法，贪心算法更 amount 尽快地变得更小。
`经验表明，贪心策略是正确的`。 注意，我说的是经验表明， 贪心算法也有可能出错。 就拿这道题目来说，
他也是不正确的！ 比如 `coins = [1, 5, 11] amout = 15`, 因此这种做法有时候不靠谱，我们还是采用靠谱的做法.

如果我们暴力求解，对于所有的组合都计算一遍，然后比较， 那么这样的复杂度是 2 的 n 次方（这个可以通过数学公式证明，这里不想啰嗦了），
这个是不可以接受的。那么我们是否可以动态规划解决呢？答案是可以，原因就是可以划分为子问题，子问题可以推导出原问题

对于动态规划我们可以先画一个二维表，然后观察，其是否可以用一维表代替。
关于动态规划为什么要画表，我已经在[这篇文章](../thinkings/dynamic-programming.md)解释了

比较容易想到的是二维数组：

```python
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        if amount < 0:
            return - 1
        dp = [[amount + 1 for _ in range(len(coins) + 1)]
              for _ in range(amount + 1)]
        # 初始化第一行为0，其他为最大值（也就是amount + 1）

        for j in range(len(coins) + 1):
            dp[0][j] = 0

        for i in range(1, amount + 1):
            for j in range(1, len(coins) + 1):
                if i - coins[j - 1] >= 0:
                    dp[i][j] = min(
                        dp[i][j - 1], dp[i - coins[j - 1]][j] + 1)
                else:
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1]

        return -1 if dp[-1][-1] == amount + 1 else dp[-1][-1]
```

**复杂度分析**

- 时间复杂度：$O(amonut * len(coins))$
- 空间复杂度：$O(amount * len(coins))$

dp[i][j] 依赖于`dp[i][j - 1]`和 `dp[i - coins[j - 1]][j] + 1)` 这是一个优化的信号，我们可以将其优化到一维,具体见下方。

## 关键点解析

- 动态规划

- 子问题

用 dp[i] 来表示组成 i 块钱，需要最少的硬币数，那么

1. 第 j 个硬币我可以选择不拿 这个时候， 硬币数 = dp[i]

2. 第 j 个硬币我可以选择拿 这个时候， 硬币数 = dp[i - coins[j]] + 1

- 和背包问题不同， 硬币是可以拿任意个

- 对于每一个 dp[i] 我们都选择遍历一遍 coin， 不断更新 dp[i]

## 代码

- 语言支持：JS，C++,Python3

JavaScript Code：

```js
var coinChange = function (coins, amount) {
  if (amount === 0) {
    return 0;
  }
  const dp = Array(amount + 1).fill(Number.MAX_VALUE);
  dp[0] = 0;
  for (let i = 1; i < dp.length; i++) {
    for (let j = 0; j < coins.length; j++) {
      if (i - coins[j] >= 0) {
        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
      }
    }
  }

  return dp[dp.length - 1] === Number.MAX_VALUE ? -1 : dp[dp.length - 1];
};
```

C++ Code：

> C++中采用 INT_MAX，因此判断时需要加上`dp[a - coin] < INT_MAX`以防止溢出

```C++
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        auto dp = vector<int>(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (auto a = 1; a <= amount; ++a) {
            for (const auto & coin : coins) {
                if (a >= coin && dp[a - coin] < INT_MAX) {
                    dp[a] = min(dp[a], dp[a-coin] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
    }
};
```

Python3 Code:

```python
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [amount + 1] * (amount + 1)
        dp[0] = 0

        for i in range(1, amount + 1):
            for j in range(len(coins)):
                if i >= coins[j]:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)

        return -1 if dp[-1] == amount + 1 else dp[-1]
```

**复杂度分析**

- 时间复杂度：$O(amonut * len(coins))$
- 空间复杂度：$O(amount)$

## 扩展

这是一道很简单描述的题目， 因此很多时候会被用到大公司的电面中。

相似问题:

[518.coin-change-2](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/518.coin-change-2.md)
